[Linear Algebra] I - AB가 invertible할때 I - BA가 invertible함을 보이는 과정에 대한 발상에 대하여

행렬의 성질에 관한 진위판별이나 증명은 발상이 상당히 까다롭다고 느낀다.

특히 수능공부할때 삽질했던 기억이 있어 PTSD가 저절로 오는 것이다..

 

 

여하튼 나는 A, B, I는 같은 차수를 가진 정사각행렬이고 I - AB가 invertible할때, I - BA가 invertible함을 보이는 과정을 알고 싶었다. 이때 문제에서 B(I - AB) = (I - BA)B를 이용하라는 지시가 있었다.

 

웹에서 찾아보면 다짜고짜 I - BA에 B(I - AB)^(-1)A + I를 곱하는 의문의 논리 비약을 보여주는데

이 풀이과정을 분석하여 문제의 지시에 맞는 적절한 발상을 찾아내어 공유해 보고자 한다.

 

발상의 핵심은, AB = I이면 A와 B는 invertible하다는 것과 (위 제시된 문제와는 다른 정사각행렬 A, B) ... *

한쪽 변에는 I, 다른쪽 변에는 I - BA꼴을 만들어 인수로 묶는 것이다.

 

B(I - AB) = (I - BA)B <- 양변의 우측에 (I - AB)^(-1)을 곱한다.

B = (I - BA)B(I - AB)^(-1) <- 양변의 우측에 A를 곱한다.

BA = (I - BA)B(I - AB)^(-1)A <- 양변에 I - BA를 더한다.

I = (I - BA)B(I - AB)^(-1)A + I - BA <- 우변을  I - BA로 묶는다.

I = (I - BA)(B(I - AB)^(-1)A + I)

 

이러면 우변에 상술한 B(I - AB)^(-1) + I가 나타나게 되고 *에 의해 I - BA는 invertible함이 증명된다.